Контрольная работа

Пояснительная записка

Сегодня деятельность в любой области экономики (управле­нии, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста применения современных методов рабо­ты, знания достижений мировой экономической мысли, пони­мания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Чтение современной экономической литературы также предпо­лагает хорошую эконометрическую подготовку.

Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специаль­ ных методов, которые составляют один из аспектов эконометри­ ки. Центральной проблемой эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее ис­ пользования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

Известный эконометрист Цви Гриллихес (1929—1999) писал: «Эконометрика является одновременно нашим телескопом и на­ шим микроскопом для изучения окружающего экономического мира». Это определение подчеркивает значение эконометричес кого подхода как на микроуровне (поведение индивидов, домохозяйств, фирм), так и на макроуровне. В этом смысле можно говорить о микро- и макроэконометрике.

Развитие эконометрики тесно связано с изучением микро- и макроэкономики. Сейчас уже кажется невозможным понять «кривую Филлипса» или «теорему Эрроу», использование ресур­ сов и эластичность потребления, не прибегая к статистическим данным, моделированию и оценке параметров.

Процесс перехода высшего экономического образования в России на мировые стандарты характеризуется интенсивным внедрением в учебные планы курсов микро- и макроэкономики. Эконометрика также начинает входить в учебные планы, прежде всего в планы обучения будущих экономистов-статистиков.

Большинство новых методов экономики основано на эконометрических моделях, концепциях приемах. Анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка тех или иных статистических данных, и т. д., следовательно, в подготовке экономистов широкого профиля изучение эконометрики занимает значительное место.

Контрольная работа написана в полном соответствии с требованиями государственных стандартов по эконометрике для подготовки специалистов с высшим образованием по специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Задание №1

Варианты 1 - 5

Экономист, изучая зависимость уровня Y (тыс. руб.) издержек o б pa щения от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице 1.

Задание

Для каждого из районов (в каждой задаче) требуется:

• найти коэффициенты корреляции между X и Y ;
• построить регрессионные функции линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать их на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,05;
• найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X ;
• определить надежность коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента:
• найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;
• построить график регрессионной функции и диаграмму рассеяния;
• используя полученное уравнение линейной регрессии, оце­нить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 130 тыс. руб.

Таблица 1

Варианты 6 - 10

Экономист, изучая зависимость выработки Y (тыс. руб.) от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице 2.

Задание

Для каждого из районов (в каждой задаче) требуется:

• найти коэффициенты корреляции между X и Y .
• построить регрессионные функции линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать их на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,05;
• найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X ;
• определить надежность коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента:
• найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;
• построить график регрессионной функции и диаграмму рассеяния;
• используя полученное уравнение линейной регрессии, оце­нить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 80 тыс. руб.

Таблица 2

Вариант 1.11   

Экономист, изучая зависимость уровня Y (тыс. руб.) издержек o б pa щения от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице.

Для каждого из районов требуется:

1. Найти коэффициенты корреляции между X и Y .
2. Построить регрессионные функции линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать их на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,05;
3. Найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X ;
4. Определить надежность коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента:
5. Найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;
6. Построить график регрессионной функции и диаграмму рассеяния;
7. Используя полученное уравнение линейной регрессии, оце­нить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 130 тыс. руб.

Решение варианта 1.11

1. Коэффициент корреляции между X и Y вычисляем по формуле: вычисляем по формуле: . Подставляя данные задачи в эту формулу, получим: , что говорит о существовании почти линейной зависимости между X и Y .
2. Регрессионную функцию линейной зависимости Y = a + b * X находим с помощью анализа данных в Excel . Получим следующие значения: a = -1,82, b = 0,09. Таким образом, регрессионная функция имеет вид: Y = -1,82 + 0,09* X . При уровне значимости 0,05 имеем: F = 105,118 при табличном значении F табл. = 5,32. Так как F > F табл., то найденные значения a и b надёжны.
3. Коэффициент эластичности Y по X вычисляем по формуле: . В нашем случае . В точке , получим .
4. Сравнивая значения t -статистики для каждого из коэффициентов линейной регрессии , с табличным значением , можно сказать, что с вероятностью 95% коэффициент b надёжен, a – не надёжен при данном уровне значимости.
5. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:





6. Г рафик регрессионной функции и диаграмма рассеяния:



7. Ожидаемое среднее значение признака Y при X = 130 тыс. руб. получим, подставив это значение в регрессионную функцию Y = -1,82 + 0,09*130 = 9,88.

Задание №2

В ходе эксперимента получены 25 наблюдений двух независимых переменных X1, X2 и переменной Y . Эти данные записаны в следующей таблице для одиннадцати вариантов.

Таблица 3 Исходные данные

Из априорных рассуждений выведена гипотеза, что Y является линейной функцией от регрессоров X 1, X 2, ( X 1) 2 , ( X 2) 2 , X 1* X 2, tg ( X 1* X 2).

Требуется:

1. Найти коэффициенты попарной корреляции для наборов данных всех регрессоров и отклика.
2. Выбрать наилучшую регрессионную функцию, используя при отборе коэффициенты попарной корреляции, коэффициенты множественной корреляции, критерий Фишера, статистики Стьюдента.
3. Дать интервальную оценку коэффициентов наилучшей регрессии.

Примечание:

При решении этого задания можно использовать программы MS Excel или Statgraphics .

Рассчитываем все значения регрессоров, полагая

X 1 = X 1, X 2 = X 2, X 3 =( X 1) 2 , X 4 = ( x 2) 2 , X 5 = X 1* X 2, X 6 = tg ( X 1* X 2),

и записываем их в таблицу вместе со значениями отклика.

Таблица 4

Для расчета попарных коэффициентов корреляции можно использовать следующие формулы

Коэффициенты корреляции запишем в следующую таблицу.

Таблица 5

Следует отметить слабую корреляцию отклика Y c регрессорами X 2, X 4, X 5.

Строим регрессионную функцию по всем регрессорам.

Вычисляем статистики по следующим формулам

Множественный коэффициент корреляции R определяется как коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями Y_i и расчетными, прогнозируемыми, значениями Yr_i, т. е.

.

Величину R 2 обычно называют коэффициентом детерминации.

Нормированный R –квадрат (скорректированный индекс множественной детерминации) содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

.

Таблица 6 Регрессионная статистика

Значимость уравнения в целом оценивается с помощью F -критерия Фишера

.

Если найденное значение F больше табличного для уровня значимости ? и степеней свободы ( n - m -1) и m , то с вероятность 1 - ? делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом.

Таблица 7 Дисперсионный анализ

Пояснения к таблице 5

df – число степеней свободы (число регрессоров m = 6 и число n - m -1 = 18 , где n – число наблюдений)

SS – cумма квадратов (в строке «Регрессия» - сумма квадратов отклонений вычисленных значений отклика от среднего значения откликов, в строке «Остаток» - сумма квадратов разностей наблюдаемых и вычисленных значений отклика)

MS = SS / df

Для уровня значимости ? = 0,05 и при степенях свободы 6 , 18 табличное значение статистики Фишера F таб = 2,66.

Найденное в таблице. З начение F = 264,6513 существенно превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.

Таблица 8 Коэффициенты регрессии.

Пояснения к таблице 6

Коэффициенты регрессии b i , стандартные ошибки m i , t -статистики t i могут быть вычислены по формулам

,

,

,

где

- среднее квадратическое отклонение для отклика Y ,

- среднее квадратическое отклонение для регрессора Xi ( X 1, X 2, …)

- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии,

- коэффициент детерминации для зависимости отклика Y от всех регрессоров кроме Xi ,

- коэффициент детерминации для зависимости Xi от всех регрессоров кроме Xi .

Табличные t – критерии Стьюдента зависят от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы ( n - m -1) . Если вычисленные значения t –критерия превышают табличные, то говорят, что соответствующий коэффициент регрессии является статистически значимым и на него можно опираться в анализе и прогнозе.

Более того, используя табличное значение t - критерия и стандартную ошибку m i коэффициента регрессии b i можно с вероятностью 1 - ? сделать вывод о том, что истинное значение коэффициента регрессии попадет в интервал ( b i – t таб * m i , b i + t таб * m i ).

Табличное значение t –критерия Стьюдента при уровне значимости ? = 0,05 и числе степеней свободы 18 t таб =2,1009. К оэффициенты регрессии при регрессорах X2, X4, X5 согласно t –критерию не являются статистически значимыми.

Наименьший коэффициент парной корреляции с откликом имеет регрессор X 5, который мы удаляем из числа регрессоров и составляем новую модель с пятью регрессорами.

Результаты построения регрессионной функции от 5 регрессоров приводим ниже без повторяющихся комментариев и пояснений.

Построение функции по 5 регрессорам

Отклик: Y

Регрессоры: X 1, X 2, X 3, X 4, X 6.

Таблица 9

Таблица 10

Таблица 11

Таблица 12

По корреляционной матрице регрессор X 4 имеет наименьшую корреляцию с Y и коэффициент регрессии для него тоже не значим по t -критерию. Удаляем его из числа регрессоров.

Построение функции по 4 регрессорам

Отклик: Y

Регрессоры: X 1, X 2, X 3, X 6.

Таблица 13

Таблица 14

Таблица 15

Таблица 16

По корреляционной матрице регрессор X 2 имеет наименьшую корреляцию с Y и коэффициент регрессии для него тоже не значим по t -критерию. Удаляем его из числа регрессоров.

Построение функции по 3 регрессорам

Отклик: Y

Регрессоры: X 1, X 3, X 6.

Таблица 17

Таблица 18

Таблица 19

Результат

Регрессионная функция

Y = 0,521697 + 0,97016* X 1 + 0,956571* X 1* X 1 + 0,961871* tg ( X 1* X 2).
и меет F -статистику Фишера F = 493,619 > F таб = 3,07, поэтому уравнение значимо с вероятностью 0,95. Все коэффициенты регрессионной функции значимы по критерию Стьюдента с вероятностью 0,95, так как имеют t –статистики > t таб = 2,0796.

Доверительные интервалы:

•  ( 0,308387; 0,735007) для свободного коэффициента;

•  (0,873372; 1,066948) для коэффициента перед X 1;

•  (0,874771; 1,038372) для коэффициента перед X 1* X 1;

•  (0,868088; 1,055655) для коэффициента перед tg ( X 1* X 2).

Задание №3

Экспорт, импорт, внешнеторговый оборот Австрии, Бельги, Англии и Франции за 1961 - 1995 гг. характеризуются данными, представленными в таблице 3.

Таблица 20

Номера вариантов временных рядов указаны в третьей строке сверху.

Задание

• Постройте график динамики по временному ряду.
• Проведите расчет параметров трендов разной формы.
• Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппрок­симации, линейный коэффициент автокорреляции отклонений.
• Оцените статистическую значимость трендов через F-критерий, значимость параметров тренда - через t -критерий.
• Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней точечный прогноз на 1998 г.
• Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.    

Вариант 3.11

Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса Yt (кг) за 12 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов:

• Постройте график динамики по временному ряду.
• Проведите расчет параметров трендов разной формы.
• Выберите наиболее подходящий тренд с объяснением своего предпочтения
• Оцените качество выбранного тренда через среднюю ошибку аппроксимации.
• Оцените статистическую значимость трендов через F-критерий, значимость параметров тренда - через t -критерий.
• Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней точечный прогноз на 14 месяц.
• Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Решение варианта 3.11

Используем MS - Excel для построения графика и для построения различных форм тренда

Лучшие коэффициенты детерминации у экспоненциального и линейного трендов. Между собой эти коэффициенты отличаются незначительно. Для построения модели используем линейный тренд как самый простой для вычислений. Воспользуемся пакетом анализа MS - Excel для точного отыскания регрессионной функции.

Так как

F = 627,9936> F таб(0,05;1;10)=4,96,

то гипотеза о случайности различия факторной и остаточной дисперсий отклоняется, т.е. уравнение надежно.

Полученный линейный тренд имеет вид

Y = 7,588042 + 0,336575* t

Значения t -статистик для свободного коэффициента и для коэффициента перед переменной «месяц» превышает табличное значение 2,228 при 10 степенях свободы с уровнем значимости 0,05, следовательно коэффициенты линейного тренда не случайно отличаются от нуля.

Подставив в уравнение тренда значение t =14, получим прогнозное значение

Средняя стандартная ошибка прогноза m ( Y р) вычисляется по формуле

Дельта Y р = t таб* m(Yp) = 2,228* 0,163201 = 0,363612

Доверительный интервал прогноза равен ( Y(14) - Дельта Yр, Y(14) + Дельта Yр)

(11,93648; 12,66371)